Fraktale

In der Vergangenheit habe ich ja schon zwei Beiträge dieser Art gemacht.
1. Die Fibonacci – Folge
2. Das Möbiusband

Heute möchte ich das nächste und dritte Thema angehen und zwar:

Die Fraktale!

Was sind Fraktale?

Der Begriff Fraktal, wurde von dem Mathematiker, Benoit Mandelbrot im Jahre 1975, geprägt und beschreibt natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster.
Der Begriff leitet sich aus dem Lateinische, fractus ab und bedeutet soviel wie, gebrochen.
Dies rührt daher, dass Fraktale gebrochene Werte aufweisen. Anders als in üblichen geometrischen Fällen. Das Besondere an Fraktalen ist der Umstand, dass sie einen hohen Grad von Selbstähnlichkeit aufweisen.

Was ist Selbstähnlichkeit?

Selbstähnlichkeit ist die Eigenschaft die Gegenstände, Körper, Mengen oder geometrische Objekte aufweisen können.
Dabei zeigt sich, dass bei ihrer vergrößerung, sich scheinbar unendlich oft, die selbe Struktur wie am Anfang, wiederholt.

Über Fraktale:

Das Gebiet in der Mathematik, wo Fraktale untersucht werden, wird fraktale Geometrie genannt und reicht in weite andere Bereich hinein. Wie in die Funktionstheorie, Berechenbarkeitstheorie und dynamische Systeme.

In der traditionellen Geometrie ist eine Linie eindimensional, eine Fläche zweidimensional und ein räumliches Gebilde, dreidimensional.
Dies ist auch eine der Besonderheiten, die Fraktale aufweisen.
Denn bei ihnen lässt sich ihre Dimensionalität, nicht unmittelbar angeben.
Führ man zum Beispiel eine Rechenoperation für ein fracktales Linienmuster, tausende Male fort, füllt sich mit der Zeit die gesamte Zeichenfläche (PC-Bildschirm), mit Linien und das eindimensionale Gebilde nähert sich einem zweidimensionalen.

Einige Beispiele:

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Sierpinski – Dreieck in der siebten Iterationsstufe, Quelle: Wikipedia

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Pythagoras – Baum, Quelle: Wikipedia

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Die Berühmte Mandelbrot-Menge genannt „Apfelmännchen“

Ihre Anwendung:

Durch ihren Formenreichtum und dem ästhetischen Reiz, spielen Fraktale in der digitalen Kunst eine große Rolle. So entstand das Genre der Fraktalkunst.
Auch in der Simulation formenreicher Strukturen, wie realitätsnaher Landsxhaften, kommen sie zum Einsatz.
Aber auch in Form von Fraktalantennen, werden sie verwendet un in der Funktechnik, verschiedene Frequenzbereiche zu empfangen.

In der Natur:

Auch in der Natur, gibt es zahlreiche Beispiele für Fraktale Strukturen.
Die wohl bekannteste Fraktale Struktur, findet man bei der Blumenkohlzüchtung „Romanesco“, wieder.
Aber auch bei Farnen, Bäumen, Blutgefäßen, Flusssystemen, uvm.

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Die Blumenkohlzüchtung „Romanesco“

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Fraktale Kunst

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Fraktale Kunst

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Fraktale Kunst

So, das war es dann auch schon wieder von mir. Natürlich ist das wieder nur ein kleiner Bruchteil dieses Themas, aber ich glaube es ist das Wichtigste und spannendste aufgeführt.
Zudem würde es auch noch zu Mathematisch werden, was bedeuten würde, FORMELN, FORMELN, FORMELN und das möchte ich euch und mir nicht antun. 😄

Ich hoffe ihr findet es spannend und wie immer,

Mfg
Matthias 😀

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2 Kommentare Gib deinen ab

  1. simonsegur sagt:

    Vielen Dank für diese Kurzeinführung – immer wieder spannend. Wie bei Deinem (ebenso interessanten) Eintrag über die Fibonacci-Folge irritierte mich beim Lesen aber ganz schön Deine eigenwillige Kommasetzung und die Groß/Kleinschreibung! Ist das philosophische Absicht? 🙂

    Gefällt 2 Personen

    1. Vielen Dank!
      Ja, das habe ich schon mal geschrieben. Das ist so mein Makel und schreibe alles seit längerem mit dem Smartphone, wo die Tastatur extrem klein ist!
      😄

      Gefällt 3 Personen

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